가역행렬이란
행렬의 종류 & 단위행렬
정사각행렬 : 행의 개수 $m$과 열의 개수 $n$이 같은 행렬
$n$차 정사각행렬 : 행의 개수와 열의 개수가 $n$인 $n\times n$ 행렬
대각성분 : 정사각행렬의 $\left( i, i\right)$ - 성분 (단, $i=1, 2, 3, \cdots $)
대각행렬 : 대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 행렬
단위행렬 : 대각성분이 모두 $1$인 대각행렬
단위행렬은 기호 $I$로 표기하거나 그 크기를 나타내기 위해 $n$차 단위행렬의 경우 $I_n$과 같이 나타낸다.
가역행렬의 정의
가역행렬과 역행렬은 함께 정의된다. 둘의 정의는 아래와 같다.
정사각행렬 $A$에 대해 $AB=I=BA$ 을 만족하는 정사각행렬 $B$가 존재하면 $A$를 가역행렬, $B$를 $A$의 역행렬 $A^{-1}$이라 한다.
정의를 보면 알 수 있듯 행렬 $A$의 관점에서 자신은 가역행렬, 행렬 $B$는 자신의 역행렬이다. 마찬가지로 행렬 $B$의 관점에서 자신은 가역행렬, 행렬 $A$는 자신의 역행렬이 된다.
가역행렬의 기본 성질
가역행렬과 관련된 여러 성질들 중 가장 중요한 것은 바로 역행렬의 유일성이다.
정사각행렬 $A$의 역행렬이 존재한다면, 그 역행렬은 유일하다.
이러한 성질은 아래와 같이 증명할 수 있다.
가역행렬 $A$의 역행렬이 2개 이상 존재한다고 가정하고, 그 중 임의의 서로 다른 두 행렬을 각각 행렬 $B$, $C$라 하자. 행렬곱의 결합법칙에 의해 $ \left( BA \right) C = B \left( AC \right) $ 식이 성립한다. 이때 $ BA=I $, $ AC=I $ 이므로 $ B=BI=B\left( AC\right) =\left( BA\right) C=IC=C$ 식이 성립한다. 즉, 처음의 가정이 모순이 되어 $A$의 역행렬은 유일하다.
계수행렬과 가역행렬
역행렬의 쓸모는 연립일차방정식을 풀이할 때 드러난다. 아래와 같이 행렬을 이용하여 연립일차방정식을 풀이하는 상황을 가정해보자.
$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} $$
좌변의 첫 번째 행렬을 $A$, 두 번째 행렬을 $X$, 우변의 행렬을 $B$라 하자. 여기서 행렬 $A$를 연립방정식의 계수행렬이라고 한다.
위의 연립방정식은 $AX=B$ 의 식으로 표현할 수 있다. 여기서 계수행렬이 가역행렬이라면 각 변의 왼쪽에 $A^{-1}$을 곱하여 식을 $A^{-1}AX=X=A^{-1}B$ 와 같이 변형할 수 있다. 이는 곧 변수를 나타내는 행렬 $X$는 계수행렬의 역행렬 $A^{-1}$과 $B$의 곱으로 계산할 수 있음을 보여준다. 때문에 계수행렬이 가역행렬인 경우, 우리는 그 역행렬을 이용해 연립방정식의 해를 쉽게 구할 수 있다.
뿐만 아니라, 가역행렬의 역행렬이 유일하다는 성질에 의해 연립방정식의 해가 가지는 성질 또한 달라진다.
| 계수행렬이 가역행렬 | 계수행렬이 비가역행렬 |
| - $AX=B$ 의 해가 유일하게 존재 - $AX=0$ 이 자명해 $X=0$ 만을 가짐 |
- $AX=B$ 의 해가 유일하지 않거나 존재하지 않음 - $AX=0$ 이 자명해 $X=0$ 이외의 해를 가짐 |
계수행렬이 가역행렬인 경우 $X=A^{-1}B$ 의 관계식에 의해 행렬 $X$가 유일하게 결정된다. 따라서 이 경우 연립방정식의 해는 유일하게 존재하며, 특히 $AX=0$ 인 경우 $X=A^{-1}0=0$ 으로 연립방정식은 자명해를 가진다.
계수행렬이 비가역행렬인 경우 $X=A^{-1}B$ 와 같은 관계식이 성립하지 않기 때문에 해의 유일성을 보장할 수 없다. 이는 여러가지 반례를 들어 증명할 수 있다.