수학/벡터 미적분학

벡터 장에서의 선적분

벡터 장에서의 선적분 벡터 함수의 선적분은 스칼라 장에서의 선적분과 다르게 적분식에 Dot Product가 포함된다.$$ \int_{C}F\, dr\quad\longleftrightarrow\quad\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} $$ $ \vec{F} =F_x\hat{x} +F_y\hat{y} $ ($F_x$, $F_y$는 $x$, $y$에 대한 함수) 와 같이 주어졌을 때,$$ d\vec{r} =dx\hat{x} +dy\hat{y} $$$$ \vec{F}\cdot d\vec{r} =\left( F_{x}, F_{y} \right)\cdot\left( dx, dy \right) =F_{x}dx+F_{y}dy $$$$ \int_{C}\vec{F}\cdot\, d..

스칼라 장에서의 선적분

스칼라 장에서의 선적분 선적분의 개념과 정의에 관해서는 다음의 글을 참고하면 된다. 일반적인 스칼라 장에서의 선적분은 임의의 곡선 $C$가 한 평면 위에 존재하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$ \int_{C}f\left( x, y\right)\, ds=\int_{a}^{b}f\left( x(t), y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt $$ 위와 같은 선적분의 정성적인 의미를 생각해보면, $xy$평면 위의 곡선 $C$와 $xyz$공간 상의 곡선 $ C' : z=f(x, y) $ 이 이루는 커튼모양의 면적과 같음을 알 수 있다. (단, $(x, y)$는 곡선 $C$위의 점)..

선적분의 개념과 정의

선적분 Line Integral 일반적인 정적분의 경우, 한 직선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분으로 생각할 수 있다. 예를 들자면$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $$와 같이 주어진 정적분의 경우 적분 구간에 속하는 x축 상의 모든 점들에 대한 함수 $f(x)$의 적분을 구하는 것이 된다. 이와 다르게 선적분은, 임의의 곡선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분을 구하는 것이다.임의의 곡선 $C$가 다음과 같이 주어졌다고 하면, 닫힌 구간 $ \left[ a, b\right] $에서 함수 $ f\left( x_{t}, y_{t}, z_{t}\right) $에 대해 구간 $ \left[ a, b\right] $를 $n$분할하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 ..

델 연산자 (Del Operator) - 그래디언트, 다이버전스, 컬, 라플라시안

정의 델 연산자는 $\nabla$와 같이 나타내며 아래와 같이 정의된다.$$ \nabla =\sum_{i=1}^n \frac{1}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\hat{x_{i}} $$ 이처럼 델 연산자는 벡터로 취급하여도 무방하다. $h_{i}$는 Scaling Factor이며 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계와 같이 서로 직교하는 좌표계에서는 $h_{i}$만큼 보정하여 계산한다. 직교좌표계 : $h_{x}=1$, $h_{y}=1$, $h_{z}=1$구면좌표계 : $h_{r}=1$, $h_{\theta}=r$, $h_{\rho}=r\sin\theta$원통좌표계 : $h_{\rho}=1$, $h_{\theta}=r$, $h_{z}=1$ 따라..

벡터의 연산 Vector Algebra

벡터의 정의 벡터 공간이란, 간단히 말하면 원소들을 서로 더하거나 주어진 배수로 늘리고 줄일 수 있는 공간을 의미하며 이러한 벡터 공간의 원소를 벡터라고 한다. 벡터 공간은 수학적으로 이보다 더 엄밀하게 여러 공리들을 만족하는 공간으로 정의된다. 따라서 일반적으로는 크기와 방향을 가지는 양(유클리드 기하적 벡터)을 벡터라고 한다.  벡터의 표기 $ \vec{A} $ 또는 $ \mathbf{A} $ 와 같이 기호로 나타낸다또한 벡터의 크기는 $ \left|\vec{A}\right| $ 또는 $ \left|\mathbf{A}\right| $ 와 같이 나타낸다.  단위벡터 단위벡터란, 크기가 1인 벡터를 의미하며 $ \hat{A} $ 와 같이 나타낸다. 직교좌표계에서 단위벡터는..