벡터의 정의
벡터 공간이란, 간단히 말하면 원소들을 서로 더하거나 주어진 배수로 늘리고 줄일 수 있는 공간을 의미하며 이러한 벡터 공간의 원소를 벡터라고 한다. 벡터 공간은 수학적으로 이보다 더 엄밀하게 여러 공리들을 만족하는 공간으로 정의된다. 따라서 일반적으로는 크기와 방향을 가지는 양(유클리드 기하적 벡터)을 벡터라고 한다.
벡터의 표기
$ \vec{A} $ 또는 $ \mathbf{A} $ 와 같이 기호로 나타낸다
또한 벡터의 크기는 $ \left|\vec{A}\right| $ 또는 $ \left|\mathbf{A}\right| $ 와 같이 나타낸다.
단위벡터
단위벡터란, 크기가 1인 벡터를 의미하며 $ \hat{A} $ 와 같이 나타낸다.
직교좌표계에서 단위벡터는 $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ 또는 $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ 로 나타낸다. 이때 각각의 단위벡터들은 서로 선형독립을 이루며, $ \hat{x}\times\hat{y} =\hat{z} $ 를 만족하는 직교좌표계를 오른손 좌표계라고 한다.
직교좌표계 위의 벡터 $\vec{A}$는 단위벡터를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ \hat{A} =\left( A_{x}, A_{y}, A_{z}\right) =A_{x}\hat{x} +A_{y}\hat{y} +A_{z}\hat{z} $$
벡터의 연산
두 개의 벡터 $ \vec{A} =\left( A_{x}, A_{y}, A_{z}\right) $, $ \vec{B} =\left( B_{x}, B_{y}, B_{z}\right) $ 사이의 연산을 다룬다.
벡터의 덧셈 Addition
$$ \begin{align} \vec{A} +\vec{B} &=\left( A_{x}, A_{y}, A_{z}\right) +\left( B_{x}, B_{y}, B_{z}\right) \\ &=\left( A_{x}+B_{x}\right)\hat{x} +\left( A_{y}+B_{y}\right)\hat{y} +\left( A_{z}+B_{z}\right)\hat{z} \end{align} $$
또한, 벡터의 덧셈에서는 교환법칙이 성립한다.
$$ \vec{A} +\vec{B} =\vec{B} +\vec{A} $$
벡터의 실수배 Multiplication
임의의 실수 $a$에 대하여,
$$ a\vec{A} =aA_{x}\hat{x} +aA_{y}\hat{y} +aA_{z}\hat{z} $$
벡터의 내적 Dot Product
$$ \begin{align} \vec{A}\cdot\vec{B} &=\left( A_{x}, A_{y}, A_{z}\right)\cdot\left( B_{x}, B_{y}, B_{z}\right) \\ &= A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z} \end{align} $$
Dot Product의 결과는 스칼라이다.
벡터의 크로스곱 Cross Product
$$ \begin{align} \vec{A}\times\vec{B} &=\left( A_{x}, A_{y}, A_{z}\right)\times\left( B_{x}, B_{y}, B_{z}\right) =\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix} \\ &= \left( A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}\right)\hat{x} +\left( A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}\right)\hat{y} +\left( A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\right)\hat{z} \end{align} $$
벡터의 삼중곱 Vector Triple Product
$$ \vec{A}\times\left(\vec{B}\times\vec{C}\right) =\vec{B}\left(\vec{A}\cdot\vec{C}\right) -\vec{C}\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right) $$