리만적분

선적분의 개념과 정의

선적분 Line Integral 일반적인 정적분의 경우, 한 직선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분으로 생각할 수 있다. 예를 들자면$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $$와 같이 주어진 정적분의 경우 적분 구간에 속하는 x축 상의 모든 점들에 대한 함수 $f(x)$의 적분을 구하는 것이 된다. 이와 다르게 선적분은, 임의의 곡선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분을 구하는 것이다.임의의 곡선 $C$가 다음과 같이 주어졌다고 하면, 닫힌 구간 $ \left[ a, b\right] $에서 함수 $ f\left( x_{t}, y_{t}, z_{t}\right) $에 대해 구간 $ \left[ a, b\right] $를 $n$분할하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 ..

[적분] 5. 리만 합과 리만 적분(Rimann Integral)

정적분의 시작부정적분과 정적분은 마치 동질적인 것처럼 보이지만 이 둘은 미적분학의 기본정리에 의해 엮어질 뿐, 그 시초와 본질이 전혀 다르다. 부정적분이 미분의 역연산으로서 17세기 이후에 만들어진 것과는 대조되게, 정적분은 수천년 전부터 구분구적법이라는 개념으로 존재했다. 원과 같이 곡선을 포함하여 그 넓이를 재기 어려운 도형들의 넓이를 계산하기 위해, 사각형과 같은 쉽게 넓이를 구할 수 있는 도형들의 작은 조각들로 그 넓이를 어림하여 계산하는 것이다. 이후 라이프니츠가 이러한 도형의 개수를 무한히 늘리면 어림의 오차가 없어져 실제와 같아진다는 아이디어로 정리하였고, 최종적으로 베른하르트 리만이 리만 적분이라는 형태로 완성하였다.  리만 합닫힌 구간 $[a, b]$에서 불연속점이 유한개..