선적분

벡터 장에서의 선적분

벡터 장에서의 선적분 벡터 함수의 선적분은 스칼라 장에서의 선적분과 다르게 적분식에 Dot Product가 포함된다.$$ \int_{C}F\, dr\quad\longleftrightarrow\quad\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} $$ $ \vec{F} =F_x\hat{x} +F_y\hat{y} $ ($F_x$, $F_y$는 $x$, $y$에 대한 함수) 와 같이 주어졌을 때,$$ d\vec{r} =dx\hat{x} +dy\hat{y} $$$$ \vec{F}\cdot d\vec{r} =\left( F_{x}, F_{y} \right)\cdot\left( dx, dy \right) =F_{x}dx+F_{y}dy $$$$ \int_{C}\vec{F}\cdot\, d..

스칼라 장에서의 선적분

스칼라 장에서의 선적분 선적분의 개념과 정의에 관해서는 다음의 글을 참고하면 된다. 일반적인 스칼라 장에서의 선적분은 임의의 곡선 $C$가 한 평면 위에 존재하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$ \int_{C}f\left( x, y\right)\, ds=\int_{a}^{b}f\left( x(t), y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt $$ 위와 같은 선적분의 정성적인 의미를 생각해보면, $xy$평면 위의 곡선 $C$와 $xyz$공간 상의 곡선 $ C' : z=f(x, y) $ 이 이루는 커튼모양의 면적과 같음을 알 수 있다. (단, $(x, y)$는 곡선 $C$위의 점)..

선적분의 개념과 정의

선적분 Line Integral 일반적인 정적분의 경우, 한 직선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분으로 생각할 수 있다. 예를 들자면$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $$와 같이 주어진 정적분의 경우 적분 구간에 속하는 x축 상의 모든 점들에 대한 함수 $f(x)$의 적분을 구하는 것이 된다. 이와 다르게 선적분은, 임의의 곡선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분을 구하는 것이다.임의의 곡선 $C$가 다음과 같이 주어졌다고 하면, 닫힌 구간 $ \left[ a, b\right] $에서 함수 $ f\left( x_{t}, y_{t}, z_{t}\right) $에 대해 구간 $ \left[ a, b\right] $를 $n$분할하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 ..