벡터 장에서의 선적분

 

벡터 장에서의 선적분

 

벡터 함수의 선적분은 스칼라 장에서의 선적분과 다르게 적분식에 Dot Product가 포함된다.

$$\int_{C}F\, dr\quad\longleftrightarrow\quad\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r}$$

 

$\vec{F} =F_x\hat{x} +F_y\hat{y}$ ($F_x$, $F_y$는 $x$, $y$에 대한 함수) 와 같이 주어졌을 때,

$$d\vec{r} =dx\hat{x} +dy\hat{y}$$

$$\vec{F}\cdot d\vec{r} =\left( F_{x}, F_{y} \right)\cdot\left( dx, dy \right) =F_{x}dx+F_{y}dy$$

$$\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} =\int_{C}\left( F_{x}dx+F_{y}dy\right)$$

이렇게 얻은 식을 곡선 $C$의 결정 조건을 이용해 하나의 변수로 정리하여(또는 매개변수화하여) 풀면 된다.

 

위와 같은 선적분의 정성적인 의미를 생각해보면, 아래의 애니메이션과 같이 곡선 위의 모든 점들에 대해 그 점에서 곡선의 접선 방향의 성분을 적분한 것과 같음을 알 수 있다.

벡터 장에서의 선적분 (출처 : 위키피디아)

 

 

 

 

예제

 

$\vec{F} =xy\hat{x} -y^2\hat{y}$와 같이 주어지고 곡선 $C : y=\frac{1}{4}x^2 \ (0\le x\le 2)$ 일 때, $\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r}$를 구하여라.

 

 

step1. 선적분 식 세우기

 

$$d\vec{r} =dx\hat{x} +dy\hat{y}$$

$$\vec{F}\cdot d\vec{r} =\left( xy, -y^2 \right)\cdot\left( dx, dy \right) =xydx-y^2dy$$

$$\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} =\int_{C}\left( xydx-y^2dy\right)$$

 

 

step2. 하나의 변수로 정리

 

$y=\frac{1}{4}x^2$로부터 주어진 적분식을 x에 대한 식으로 나타내면

$$dy=\frac{1}{2}xdx$$

$$\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} =\int_{C}\left( xydx-y^2dy\right)=\int_{0}^{2}\left\{ x\left(\frac{1}{4}x^2\right) dx-\left(\frac{1}{4}x^2\right) ^2\left(\frac{1}{2}xdx\right)\right\}=\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{4}x^3-\frac{1}{32}x^5\right)\, dx$$

 

 

step3. 정적분 계산

 

$$\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{4}x^3-\frac{1}{32}x^5\right)\, dx=\left[\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{192}x^6\right]_{0}^{2}=\frac{2}{3}$$