부정적분

[적분] 6. 미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리미적분에 관한 기본정리로, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.정리1. $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)$정리2. $\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\quad (\frac{d}{dx}F(x)=f(x))$  증명미적분학의 제1 기본정리$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt$, 구간 $[x, x+\Delta x]$에서 $f(x)$의 최댔값을 $M$, 최솟값을 $m$이라고 정의하자.$$ m\Delta x\le S(x+\Delta x)-S(x)\le M\Delta x $$$$ \lim_{\Delta x\to 0}m\le\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-..

[적분] 4. 부분적분

부분적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Longrightarrow f'(x)g(x)=\{f(x)g(x)\}'-f(x)g'(x) $$양변을 $x$에 대해 부정적분하면$$ \int_{}{}f'(x)g(x)\, dx=\int_{}{}\{f(x)g(x)\}'\, dx-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx $$ 부분적분을 통해 적분 시에 단순한 형태가 되는 함수와 미분 시에 단순한 형태가 되는 함수의 곱으로 이루어진 함수를 쉽..

[적분] 2. 치환적분

치환적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 치환적분 또한 합성함수의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x) $$$$ f(g(x))=\int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx $$$g(x)=t$로 치환한다. 이때, 함수 $t$는 일대일대응이여야 한다. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $g'(x)=\frac{dt}{dx}$이므로$$ g'(x)dx=dt $$$$ \int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx=\int_{}{}f'(t)\, dt $$$\frac{d}{dx}$ 자체가 하나의 연산자이기 때문에 위와 같은 식의 전개가 이질적으로..

[적분] 1. 부정적분의 정의와 계산

부정적분의 정의함수 $f(x)$가 정의되어 있을 때, $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$를 만족하는 함수 $F(x)$ 를 $f(x)$의 부정적분(원시함수)이라고 한다. 상수항을 미분하면 0이 되므로, 미분가능하며 y축 방향으로 평행이동하여 같아지는 함수들을 모두 같은 도함수를 가진다. 따라서 $F(x)$가 $f(x)$의 부정적분 중 하나일 때, $f(x)$의 모든 부정적분은 $F(x)+C=f(x)$의 함수족으로 나타내어진다. 여기서 $C$를 적분상수라고 한다. 인테그랄 $\int_{}{}\,$ 기호를 써서 나타내면 다음과 같다.$$ \int_{}{} f(x)\, dx=F(x)+C $$여기서 $C$를 적분상수, 함수 $f(x)$를 피적분함수(원함수), $x$를 적분변수라고 하고, 함..