[적분] 2. 치환적분

 

치환적분법

부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 치환적분 또한 합성함수의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해

$$ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x) $$

$$ f(g(x))=\int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx $$

$g(x)=t$로 치환한다. 이때, 함수 $t$는 일대일대응이여야 한다. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $g'(x)=\frac{dt}{dx}$이므로

$$ g'(x)dx=dt $$

$$ \int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx=\int_{}{}f'(t)\, dt $$

$\frac{d}{dx}$ 자체가 하나의 연산자이기 때문에 위와 같은 식의 전개가 이질적으로 느껴질 수 있지만, 일반적으로 $dx$ 자체를 극미량으로 생각하여 이항해 계산하는 것이 가능함이 알려져 있다.

 

치환적분은 적분 변수를 바꾸어 적분의 계산을 간단하게 만든다. 부정적분의 정의와 계산의 기본 공식에 없는 형태의 함수를 기본 공식의 꼴로 바꾸어 적분을 계산하는 데 치환적분법이 사용되는 것이다.

$$ \int_{}{}y\, dx=\int_{}{}y\frac{dx}{dt}\, dt $$

 

 

기본 유형

치환적분법에서 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$ \int_{}{}f(x)\, dx=F(x)+C\Longrightarrow\int_{}{}f(ax+b)\, dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\quad (a\ne 0) $$

$$ g(x)=t\Longrightarrow\int_{}{}f(g(x))g'(x)\, dx=\int_{}{}f(t)\, dt $$

 

 

 

 

치환적분을 활용한 부정적분의 계산

다음의 식들은 치환적분의 기본 유형으로부터 모두 유도 가능하다. 굳이 공식처럼 알고 있을 필요는 없다.

$$ \int_{}{}\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=\ln\mid f(x)\mid +C $$

$$ \int_{}{}\frac{1}{ax+b}\, dx=\frac{1}{a}\ln\mid ax+b\mid+C $$

$$ \int_{}{}\left( ax+b\right)^r\, dx=\frac{1}{a}\times\frac{1}{r+1}\left( ax+b\right)^{r+1}+C $$

 

$$ \int_{}{}f(\sin x)\cos x\, dx=\int_{}{}f(t)\, dt $$

$$ \int_{}{}f(\cos x)\sin x\, dx=\int_{}{}-f(t)\, dt $$

$$ \int_{}{}f(\tan x)\sec ^2x\, dx=\int_{}{}f(t)\, dt $$

$$ \int_{}{}f(\sec x)\sec x\tan x\, dx=\int_{}{}f(t)\, dt $$

식에 근호 $\surd$가 포함되어 있는 경우 근호 안이나 전체 식을 다른 문자로 치환하여 계산할 수 있다.

 

적분