[적분] 1. 부정적분의 정의와 계산

 

부정적분의 정의

함수 $f(x)$가 정의되어 있을 때, $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$를 만족하는 함수 $F(x)$ 를 $f(x)$의 부정적분(원시함수)이라고 한다.

 

상수항을 미분하면 0이 되므로, 미분가능하며 y축 방향으로 평행이동하여 같아지는 함수들을 모두 같은 도함수를 가진다. 따라서 $F(x)$가 $f(x)$의 부정적분 중 하나일 때, $f(x)$의 모든 부정적분은 $F(x)+C=f(x)$의 함수족으로 나타내어진다. 여기서 $C$를 적분상수라고 한다.

 

인테그랄 $\int_{}{}\,$ 기호를 써서 나타내면 다음과 같다.

$$\int_{}{} f(x)\, dx=F(x)+C$$

여기서 $C$를 적분상수, 함수 $f(x)$를 피적분함수(원함수), $x$를 적분변수라고 하고, 함수 $f(x)$의 부정적분(원시함수)을 구하는 것을 "$f(x)$를 적분한다" 라고 한다.

 

 

부정적분과 피적분함수의 관계

함수 $f(x)$의 부정적분 $\int_{}{}f(x)\, dx$를 $x$에 대해 미분하면 적분상수 $C$가 0이 되어 피적분함수의 원형이 나온다. 하지만 $f(x)$의 도함수 $\frac{d}{dx}f(x)$를 $x$에 대해 적분하면 적분상수 $C$가 튀어나와 피적분함수에 상수가 더해진 꼴의 함수족이 나온다.

$$\frac{d}{dx}\left( \int_{}{} f(x)\, dx\right)=f(x)$$

$$\int_{}{} \left( \frac{d}{dx}f(x)\right)\,dx=f(x)+C$$

 

 

 

 

부정적분의 계산

부정적분을 역도함수라고도 부르는 것처럼, 부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다.

 

함수들의 미분에 대해선 다음 글을 참고하면 된다.

초등함수의 미분법 https://lyssion-studynote.tistory.com/3

 

 

기본 성질

함수를 미분할 때는 각 항들의 실수배가 보존되며 항들을 따로 계산할 수 있다. 함수를 적분할 때에도 마찬가지이다.

$$\int_{}{} kf(x)\, dx=k\int_{}{} f(x)\, dx$$

$$\int_{}{} \{f(x)\pm g(x)\}\, dx=\int_{}{} f(x)\, dx\pm\int_{}{} g(x)\, dx$$

 

 

다항함수의 부정적분

$\frac{d}{dx}\left( x^r\right)=rx^{r-1}$, $\frac{d}{dx}\ln\mid x\mid=\frac{1}{x}$ 로부터

$$\int_{}{} x^r\, dx=\frac{1}{r+1}x^{r+1}+C\quad (r\ne -1)$$

$$\int_{}{} \frac{1}{x}\, dx=\ln\mid x\mid+C$$

 

 

 

 

삼각함수의 부정적분

<초등함수의 미분> 편에서 삼각함수들의 도함수를 구할 수 있었다. 삼각함수의 부정적분은 그 과정을 거꾸로 거친다.

$$\int_{}{} \sin x\, dx=-\cos x+C\quad\int_{}{} \cos x\, dx=\sin x+C$$

$$\int_{}{} \sec ^2x\, dx=\tan x+C\quad\int_{}{}\csc ^2x\, dx=-\cot x+C$$

$$\int_{}{} \sec x\tan x\, dx=\sec x+C\quad\int_{}{}\csc x\cot x\, dx=-\csc x+C$$

 

 

지수함수의 부정적분

<초등함수의 미분> 편에서 지수함수의 도함수를 구할 수 있었다. 지수함수의 부정적분은 그 과정을 거꾸로 거친다.

$$\int_{}{} e^x\, dx=e^x+C\quad\int_{}{}a^x\, dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$

 

적분