[미분] 1. 초등함수의 미분

 

초등함수

다항함수, 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수와 그 역함수들의 사칙연산 및 함수 합성을 통해 얻을 수 있는 일변수 함수를 초등함수라고 한다.

 

다항함수, 유리함수, 무리함수는 다항식의 근으로 표현할 수 있는(변수식이 사칙연산 및 거듭제곱으로만 표현된) 대수함수이며,

지수함수, 로그함수, 삼각함수는 그럴 수 없는 초월함수이다. (단, 초등함수가 아닌 초월함수도 많다)

 

 

 

 

미분과 도함수

미분계수

다음의 $ y=f(x) $ 그래프에서 $x$값의 변화량 $x_2-x_1$을 $x$의 증분 $\Delta x$, $y$값의 변화량 $f(x_2)-f(x_1)$을 $y$의 증분 $\Delta y$이라 한다.

 

y=f(x) 그래프와 그 위의 점P, 점Q

 

$x$의 증분 $\Delta x$에 대한 $y$의 증분 $\Delta y$의 비율

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x} $$

을 $x$의 값이 $x_1$에서 $x_2$로 변할 때 함수 $y=f(x)$ 의 평균 변화율이라고 하며,

 

$ \Delta x \to 0 $ 일 때, 평균변화율의 극한값

$$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x} $$

이 존재하면 함수 $y=f(x)$ 는 $x=x_1$ 에서 미분가능하다고 하고 이 때의 극한값을 순간변화율, 즉 미분계수라 하며 기호로 $$ f'(x_1) $$ 와 같이 나타낸다.

 

 

도함수

정의역 $X$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 정의역의 각 원소 $x$에 대하여 미분계수 $f'(x)$를 대응시키는 새로운 함수 $f'$, 즉

$$ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

로 정의하여 이 함수 $f'(x)$를 함수 $f(x)$의 도함수라고 한다.

 

함수 $y=f(x)$ 에서 도함수 $f'(x)$를 구하는 것을 함수 $y=f(x)$ 를 $x$에 대해 미분한다고 한다.

 

미분과 도함수

 

 

 

 

대수함수의 미분

도함수의 정의를 이용하여 함수 $ f(x)=x^n $ 의 도함수를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ &=\lim_{h \to 0}\frac{\{(x+h)-x\}\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots +x^{n-1}\}}{h} \\ &=\lim_{h \to 0}\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots +x^{n-1}\} \\ &=x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots +x^{n-1} \\ &=nx^{n-1} \end{align} $$

 

위 식은 $n$이 양이 아닌 정수일 때에도 성립함이 알려져있다. (몫의 미분법 사용)

 

 

음함수 미분법을 이용한 확장

위의 과정은 $n$이 정수 범위일 때에만 성립한다. 따라서 음함수 미분법을 사용하여 $n$이 유리수 전체의 범위에서 위의 식을 만족함을 증명한다.

 

서로소이고 $m\ne 0$ 인 두 정수 $m, n$에 대하여 $r=\frac{n}{m}$ 꼴로 나타낼 수 있으므로 $y^m=x^n$ 이다.

양변을 미분하면 $my^{m-1}=nx^{n-1}$ 이므로

 

$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{nx^{n-1}}{my^{m-1}}=\frac{n}{m}\frac{x^{n-1}}{(x^{\frac{n}{m}})^{m-1}} \\ &=\frac{n}{m}x^{n-1-\frac{n(m-1)}{m}}=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1} \\ &=rx^{r-1} \end{align} $$

 

이를 통해 $n$이 유리수일 때에도 위의 과정이 성립함을 알 수 있다.

 

 

로그함수의 미분법을 이용한 확장

위의 과정은 $n$이 유리수 범위일 때에만 성립한다. 따라서 로그함수의 미분법을 사용하여 $n$이 실수 전체의 범위에서 위의 식을 만족함을 증명한다.

 

실수 $a$에 대해 $y=x^a$ 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하고 $x$에 대해 미분하면

$$ \ln |y|=\ln |x^a|=a\ln |x| \\ \frac{y'}{y}=a\cdot \frac{1}{x}$$

이므로

$$ y'=\frac{a}{x}\cdot y=\frac{a}{x}\cdot x^a=ax^{a-1} $$

 

이를 통해 $n$이 실수일 때에도 위의 과정이 성립함을 알 수 있다.

 

일반적으로 함수 $ f(x)=x^n $ 의 도함수를 구할 수 있으면 본 함수의 사칙연산과 거듭제곱으로 된 모든 대수함수들을 미분할 수 있다.

 

 

삼각함수의 미분

삼각함수를 미분하기 위해서는 삼각함수가 어떤 특수한 극한값을 가지는지 알아야 한다.

 

 

삼각함수의 덧셈정리

여기서 증명하진 않겠지만, 일반적으로 다음이 성립한다.

$$ \sin\left(\alpha +\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta $$

$$ \cos\left(\alpha +\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta $$

 

 

삼각함수의 극한

다음 그림으로부터 $ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $ 임을 알 수 있다.

 

$ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $ 증명

또한 다음이 성립함을 알 수 있다.

 

$$ \begin{align} \lim_{x \to 0}\frac{\cos x -1}{x} &=\lim_{x \to 0}\frac{(\cos x -1)(\cos x +1)}{x(\cos x +1)}=\lim_{x \to 0}\frac{-(\sin x)^2}{x(\cos x +1} \\ &=-\left( \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\right) ^2 \times \lim_{x \to 0}\frac{x}{\cos x +1}=(-1)\times 0=0 \end{align} $$

 

 

삼각함수의 도함수

도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리, $ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $, $ \lim_{x \to 0}\frac{\cos x -1}{x}=0 $ 임을 이용하며 몫의 미분법을 통해 모든 삼각함수들의 도함수를 구할 수 있다.

 

$$ \begin{align} (\sin x)' &=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h) -\sin x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}=\lim_{h \to 0}\left( \frac{\sin x (\cos h -1)}{h}+\frac{\cos x \sin h}{h} \right) \\ &=\lim_{h \to 0}\sin x \times \lim_{h \to 0}\frac{\cos h -1}{h} + \lim_{h \to 0}\cos x \times \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=\sin x \times 0 + \cos x \times 1=\cos x \end{align} $$

$$ \begin{align} (\cos x)' &=\lim_{h \to 0}\frac{\cos (x+h) -\cos x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}=\lim_{h \to 0}\left( \frac{\cos x (\cos h -1)}{h}+\frac{\sin x \sin h}{h} \right) \\ &=\lim_{h \to 0}\cos x \times \lim_{h \to 0}\frac{\cos h -1}{h} - \lim_{h \to 0}\sin x \times \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=\cos x \times 0 - \sin x \times 1=-\sin x \end{align} $$

 

$$ \begin{align} (\tan x)' &=\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) '=\frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{(\cos x)^2}=\frac{(\cos x)^2 + (\sin x)^2}{(\cos x)^2}=1+(\tan x)^2=(\sec x)^2 \\ (\sec x)' &=\left( \frac{1}{\cos x} \right) '=\frac{0 \times \cos x - (\cos x)' \times 1}{(\cos x)^2}=\frac{\sin x}{(\cos x)^2}=\tan x \sec x \\ (\csc x)' &=\left( \frac{1}{\sin x} \right) '=\frac{0 \times \sin x -(\sin x)' \times 1}{(\sin x)^2}=-\frac{\cos x}{(\sin x)^2}=-\cot x \csc x \\ (\cot x)' &=\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right) '=\frac{(\cos x)' \times \sin x - (\sin x)' \times \cos x}{(\sin x)^2}=\frac{-(\sin x)^2 -(\cos x)^2}{(\sin x)^2}=-\frac{1}{(\sin x)^2}=-(\csc x)^2 \end{align} $$

 

 

역삼각함수의 도함수

앞서 구한 삼각함수들의 도함수와 역함수 미분법을 이용하여 역삼각함수들의 도함수를 구할 수 있다.

 

 

 

 

지수함수의 미분

지수함수와 로그함수를 미분하기 위해서는 자연상수 $e$가 어떻게 정의되는지 알아야 한다.

 

 

자연상수 $e$

자연로그의 밑 또는 자연상수 $e$는 다음과 같이 정의된다.

$$ e=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n=\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} $$

 

 

지수함수의 미분

1. 도함수의 정의를 이용하여 함수 $ y=e^x $ 의 도함수를 구하면

$$ \begin{align} (e^x)' &=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x \times \lim_{h \to 0}\frac{e^h -1}{h} \\ &=e^x \times \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln (u+1)}=e^x \times \frac{1}{\ln \left( \lim_{u \to 0}(1+u)^{\frac{1}{u}} \right)}=e^x \times \frac{1}{\ln e}=e^x \end{align} $$

 

2. 음이 아닌 실수 $k$에 대해 $a=e^k$일 때, (1)의 결과를 바탕으로 함수 $ y=a^x $ 의 도함수를 구하면

$$ (a^x)'=(e^{kx})'=\frac{d(e^{kx})}{dx}=\frac{d(e^{kx})}{d(kx)} \cdot \frac{d(kx)}{dx}=e^{kx} \times k=a^x \ln a $$

이와 같이 지수함수의 일반적인 형태의 도함수를 구할 수 있다.

 

 

 

 

로그함수의 미분

1. 로그함수가 지수함수의 역함수임을 이용하여 함수 $ y=\ln x $ 의 도함수를 구하면, $ x=e^y & 이므로 역함수 미분법에 의해

$$ (\ln x)'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} $$

 

2. (1)의 결과를 바탕으로 $a>0$ 이고 $a \ne 1$ 인 실수 $a$에 대해 함수 $ y=\log_{a} x $ 의 도함수를 구하면

$$ (\log_{a} x)'=\left( \frac{\ln x}{\ln a} \right) '=\frac{(\ln x)'}{\ln a}=\frac{1}{x \ln a} $$

이와 같이 로그함수의 일반적인 형태의 도함수를 구할 수 있다.