수학/기초

테일러 급수를 이용한 오일러 공식의 증명

오일러 공식실수 $x$에 대하여 다음이 성립한다$e^{ix}=\cos x+i\sin x$수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로 복소수 지수를 정의하는 출발점이 되며, 복소평면 상에서 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다.  증명테일러 급수테일러 급수 글을 참고하여라.   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  오일러 공식 증명테일러 정리에 의해 $\sin x, \cos x, e^{ix}$ 함수를 다음과 같이 매클로린 급수로 나타낼 수 있다.(허수지수가 정의되지 않았지만, 오일러 공식이 허수지수를 정의하는 데 쓰이므로 넘어간다.)$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5..

테일러 급수와 테일러 정리의 증명

테일러 급수미적분학에서, 테일러 급수란 주어진 함수를 정의역의 특정 점에서의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 무한합으로 표현하는 것을 말하며 테일러 전개라고도 부른다. 즉, 여러번 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $x=a$에서 $f(x)$에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다.(테일러 급수$\ne$멱급수 이지만 여기서는 간단히 설명하고 넘어가겠다)  테일러 정리어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 $0$에 가까워지는 오차항의 합으로 표현할 수 있다는 것이 테일러 정리이다. 접선을 통해 함수를 근사하는 선형 근사를 일반화한 다항함수 형태라고 생각할 수 있으며, 테일러 급수는 이 테일러 다항식에서 오차항을 없애고 무한차원까지 확장한 것으로 볼 수 있다.  ..

[적분] 6. 미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리미적분에 관한 기본정리로, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.정리1. $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)$정리2. $\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\quad (\frac{d}{dx}F(x)=f(x))$  증명미적분학의 제1 기본정리$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt$, 구간 $[x, x+\Delta x]$에서 $f(x)$의 최댔값을 $M$, 최솟값을 $m$이라고 정의하자.$$ m\Delta x\le S(x+\Delta x)-S(x)\le M\Delta x $$$$ \lim_{\Delta x\to 0}m\le\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-..

[적분] 5. 리만 합과 리만 적분(Rimann Integral)

정적분의 시작부정적분과 정적분은 마치 동질적인 것처럼 보이지만 이 둘은 미적분학의 기본정리에 의해 엮어질 뿐, 그 시초와 본질이 전혀 다르다. 부정적분이 미분의 역연산으로서 17세기 이후에 만들어진 것과는 대조되게, 정적분은 수천년 전부터 구분구적법이라는 개념으로 존재했다. 원과 같이 곡선을 포함하여 그 넓이를 재기 어려운 도형들의 넓이를 계산하기 위해, 사각형과 같은 쉽게 넓이를 구할 수 있는 도형들의 작은 조각들로 그 넓이를 어림하여 계산하는 것이다. 이후 라이프니츠가 이러한 도형의 개수를 무한히 늘리면 어림의 오차가 없어져 실제와 같아진다는 아이디어로 정리하였고, 최종적으로 베른하르트 리만이 리만 적분이라는 형태로 완성하였다.  리만 합닫힌 구간 $[a, b]$에서 불연속점이 유한개..

[적분] 4. 부분적분

부분적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Longrightarrow f'(x)g(x)=\{f(x)g(x)\}'-f(x)g'(x) $$양변을 $x$에 대해 부정적분하면$$ \int_{}{}f'(x)g(x)\, dx=\int_{}{}\{f(x)g(x)\}'\, dx-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx $$ 부분적분을 통해 적분 시에 단순한 형태가 되는 함수와 미분 시에 단순한 형태가 되는 함수의 곱으로 이루어진 함수를 쉽..

[적분] 3. 치환적분 기법 (삼각치환, 반각치환)

치환적분 글에서 다루었던 방법들로는 적분하기 어려운 함수들도 존재한다. 그러한 함수들은 삼각치환이나 반각치환을 이용하여 풀 수 있다. [적분] 2. 치환적분치환적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 치환적분 또한 합성함수의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \flyssion-studynote.tistory.com  삼각치환삼각치환이란 다음의 두 삼각함수들의 항등식을 이용하여 함수를 적분하는 방법이다.$$ \sin ^2x+\cos ^2x=1 $$$$ \tan ^2x+1=\sec ^2x $$예시를 하나 들어보자. 함수 $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$은 분모를 다른 문자로 치환..

[적분] 2. 치환적분

치환적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 치환적분 또한 합성함수의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x) $$$$ f(g(x))=\int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx $$$g(x)=t$로 치환한다. 이때, 함수 $t$는 일대일대응이여야 한다. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $g'(x)=\frac{dt}{dx}$이므로$$ g'(x)dx=dt $$$$ \int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx=\int_{}{}f'(t)\, dt $$$\frac{d}{dx}$ 자체가 하나의 연산자이기 때문에 위와 같은 식의 전개가 이질적으로..

[적분] 1. 부정적분의 정의와 계산

부정적분의 정의함수 $f(x)$가 정의되어 있을 때, $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$를 만족하는 함수 $F(x)$ 를 $f(x)$의 부정적분(원시함수)이라고 한다. 상수항을 미분하면 0이 되므로, 미분가능하며 y축 방향으로 평행이동하여 같아지는 함수들을 모두 같은 도함수를 가진다. 따라서 $F(x)$가 $f(x)$의 부정적분 중 하나일 때, $f(x)$의 모든 부정적분은 $F(x)+C=f(x)$의 함수족으로 나타내어진다. 여기서 $C$를 적분상수라고 한다. 인테그랄 $\int_{}{}\,$ 기호를 써서 나타내면 다음과 같다.$$ \int_{}{} f(x)\, dx=F(x)+C $$여기서 $C$를 적분상수, 함수 $f(x)$를 피적분함수(원함수), $x$를 적분변수라고 하고, 함..

[미분] 2. 여러가지 미분법

실수배, 합, 차, 곱, 몫의 미분법미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 사칙연산으로 이루어진 함수의 도함수는 아래의 미분법을 통해 간단히 구할 수 있다.  실수배임의의 실수 $c$에 대해 함수 $ y=c \cdot f(x) $ 의 도함수를 구하면$$ \{c \cdot f(x)\}'=\lim_{h \to 0}\frac{c \cdot f(x+h) - c \cdot f(x)}{h}=c \cdot \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c \cdot f'(x) $$  합차$$ \begin{align} \{f(x) \pm g(x)\}' &=\lim_{h \to 0}\frac{\{f(x+h) \pm g(x+h)\}-\{f(x) \pm g(x)\}}{h} \..