미적분에 관한 기본정리로, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.
- 정리1. ddx∫xaf(t)dt=f(x)
- 정리2. ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)(ddxF(x)=f(x))
미적분학의 기본정리 증명
S(x)=∫xaf(t)dt, 구간 [x,x+Δx]에서 f(x)의 최댔값을 M, 최솟값을 m이라고 정의하자.
mΔx≤S(x+Δx)−S(x)≤MΔx
limΔx→0m≤limΔx→0S(x+Δx)−S(x)Δx≤limΔx→0M
limΔx→0m=limΔx→0M=f(x)⟹limΔx→0S(x+Δx)−S(x)Δx=ddxS(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)
(1)에서부터 ddxS(x)=f(x)이므로 S(x)는 f(x)의 부정적분이다. ddxF(x)=f(x)인 함수 F(x)에 대하여,
F(x)=∫xaf(t)dt+C
F(b)=∫baf(t)dt+C,F(a)=∫aaf(t)dt+C=C
F(b)−F(a)=∫baf(t)dt
적분