[적분] 6. 미적분학의 기본정리

 

미적분학의 기본정리

미적분에 관한 기본정리로, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.

• 정리1. $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)$
• 정리2. $\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\quad (\frac{d}{dx}F(x)=f(x))$

 

 

증명

미적분학의 제1 기본정리

미적분학의 기본정리 증명

$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt$, 구간 $[x, x+\Delta x]$에서 $f(x)$의 최댔값을 $M$, 최솟값을 $m$이라고 정의하자.

$$m\Delta x\le S(x+\Delta x)-S(x)\le M\Delta x$$

$$\lim_{\Delta x\to 0}m\le\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x}\le\lim_{\Delta x\to 0}M$$

$$\lim_{\Delta x\to 0}m=\lim_{\Delta x\to 0}M=f(x)\Longrightarrow\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}S(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)$$

 

 

 

 

미적분학의 제2 기본정리

(1)에서부터 $\frac{d}{dx}S(x)=f(x)$이므로 $S(x)$는 $f(x)$의 부정적분이다. $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$인 함수 $F(x)$에 대하여,

$$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt+C$$

$$F(b)=\int_{a}^{b}f(t)\, dt+C,\;F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\, dt+C=C$$

$$F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(t)\, dt$$

 

적분