[적분] 5. 리만 합과 리만 적분(Rimann Integral)

 

정적분의 시작

부정적분과 정적분은 마치 동질적인 것처럼 보이지만 이 둘은 미적분학의 기본정리에 의해 엮어질 뿐, 그 시초와 본질이 전혀 다르다.

 

부정적분이 미분의 역연산으로서 17세기 이후에 만들어진 것과는 대조되게, 정적분은 수천년 전부터 구분구적법이라는 개념으로 존재했다. 원과 같이 곡선을 포함하여 그 넓이를 재기 어려운 도형들의 넓이를 계산하기 위해, 사각형과 같은 쉽게 넓이를 구할 수 있는 도형들의 작은 조각들로 그 넓이를 어림하여 계산하는 것이다. 이후 라이프니츠가 이러한 도형의 개수를 무한히 늘리면 어림의 오차가 없어져 실제와 같아진다는 아이디어로 정리하였고, 최종적으로 베른하르트 리만이 리만 적분이라는 형태로 완성하였다.

 

 

리만 합

닫힌 구간 $[a, b]$에서 불연속점이 유한개인 함수 $f(x)$에 대해 구간 $[a, b]$를 $n$분할(등분이 아니다)하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 $a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$ 라 하자.

 

이때 각 소구간 $[x_{k-1}, x_k]$에서 해당 구간의 오른쪽 끝점 $x_k$와 구간의 길이 $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$에 대하여 다음의 합을 정의한다.

$$R_n=\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k$$

리만 오른쪽 합

마찬가지로 각 소구간에서 해당 구간의 왼쪽 끝점 $x_{k-1}$에 대하여 다음의 합을 정의한다.

$$L_n=\sum_{k=1}^n f(x_{k-1})\Delta x_k$$

리만 왼쪽 합

각각을 리만 오른쪽 합, 리만 왼쪽 합이라고 하며 $\parallel p\parallel\to 0$ 극한을 취하면 아래의 식이 성립한다.

$$lim_{\parallel p\parallel\to 0} R_n=lim_{\parallel p\parallel\to 0} L_n=S\quad (\parallel p\parallel =Max(\Delta x_k);\;norm)$$

 

 

 

 

곧, 리만 오른쪽 합과 리만 왼쪽 합의 극한은 일치하며,

$$S=\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$

로 표현하고 구간 $[a, b]$에서의 함수 $f(x)$의 정적분이라고 정의한다.

 

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