부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 f(x), g(x)에 대해
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)⟹f′(x)g(x)={f(x)g(x)}′−f(x)g′(x)
양변을 x에 대해 부정적분하면
∫f′(x)g(x)dx=∫{f(x)g(x)}′dx−∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx
부분적분을 통해 적분 시에 단순한 형태가 되는 함수와 미분 시에 단순한 형태가 되는 함수의 곱으로 이루어진 함수를 쉽게 적분할 수 있다. 이렇듯 부분적분의 본질적 의미는 원하는 함수의 차수를 높이거나 낮출 수 있다는 것에 있다.
부분적분은 특히 다항함수×초월함수 형태나 초월함수×초월한수 형태의 함수를 적분하는 데 많이 사용된다.
다항함수를 g(x), 지수함수를 f(x)로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
∫xexdx 의 경우
∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex=(x−1)ex+C
∫x2exdx 의 경우
∫x2exdx=x2ex−∫2xexdx=x2ex−2{(x−1)ex}=(x2−2x+2)ex+C
다항함수를 g(x), 삼각함수를 f(x)로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
∫xsinxdx 의 경우
∫xsinxdx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C
삼각함수를 g(x), 지수함수를 f(x)로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
∫exsinxdx 의 경우
∫exsinxdx=exsinx−∫excosxdx=exsinx+excosx−∫exsinxdx
2×∫exsinxdx=ex(sinx+cosx)⟹∫exsinxdx=ex2(sinx+cosx)+C
로그함수를 g(x), 다항함수를 f(x)로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.
∫lnxdx 의 경우
∫lnxdx=∫(x)′lnxdx=xlnx−∫xxdx=xlnx−x+C
∫xrlnxdx 의 경우
∫xrlnxdx=11+rx1+rlnx−∫x1+r(1+r)1xdx=x1+r1+rlnx−∫xr1+rdx=x1+r1+rlnx−x1+r(1+r)2+C
적분