[적분] 4. 부분적분

 

부분적분법

부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해

$$ \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Longrightarrow f'(x)g(x)=\{f(x)g(x)\}'-f(x)g'(x) $$

양변을 $x$에 대해 부정적분하면

$$ \int_{}{}f'(x)g(x)\, dx=\int_{}{}\{f(x)g(x)\}'\, dx-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx $$

 

부분적분을 통해 적분 시에 단순한 형태가 되는 함수와 미분 시에 단순한 형태가 되는 함수의 곱으로 이루어진 함수를 쉽게 적분할 수 있다. 이렇듯 부분적분의 본질적 의미는 원하는 함수의 차수를 높이거나 낮출 수 있다는 것에 있다.

 

 

부분적분을 이용한 적분 계산

부분적분은 특히 다항함수$\times$초월함수 형태나 초월함수$\times$초월한수 형태의 함수를 적분하는 데 많이 사용된다.

 

 

다항함수$\times$지수함수 꼴

다항함수를 $g(x)$, 지수함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

 

$\int_{}{}xe^x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}xe^x\, dx=xe^x-\int_{}{}e^x\, dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x+C $$

$\int_{}{}x^2e^x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}x^2e^x\, dx=x^2e^x-\int_{}{}2xe^x\, dx=x^2e^x-2\{ (x-1)e^x\}=(x^2-2x+2)e^x+C $$

 

 

다향함수$\times$삼각함수 꼴

다항함수를 $g(x)$, 삼각함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

 

$\int_{}{}x\sin x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}x\sin x\, dx=-x\cos x+\int_{}{}\cos x\, dx=-x\cos x+\sin x+C $$

 

 

 

 

지수함수$\times$삼각함수 꼴

삼각함수를 $g(x)$, 지수함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

 

$\int_{}{}e^x\sin x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}e^x\sin x\, dx=e^x\sin x-\int_{}{}e^x\cos x\, dx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int_{}{}e^x\sin x\, dx $$

$$ 2\times\int_{}{}e^x\sin x\, dx=e^x\left(\sin x+\cos x\right)\Longrightarrow\int_{}{}e^x\sin x\, dx=\frac{e^x}{2}\left(\sin x+\cos x\right) +C $$

 

 

다항함수$\times$로그함수 꼴

로그함수를 $g(x)$, 다항함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

 

$\int_{}{}\ln x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}\ln x\, dx=\int_{}{}(x)'\ln x\, dx=x\ln x-\int_{}{}\frac{x}{x}\, dx=x\ln x-x+C $$

$\int_{}{}x^r\ln x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}x^r\ln x\, dx=\frac{1}{1+r}x^{1+r}\ln x-\int_{}{}\frac{x^{1+r}}{(1+r)}\frac{1}{x}\, dx=\frac{x^{1+r}}{1+r}\ln x-\int_{}{}\frac{x^r}{1+r}\, dx=\frac{x^{1+r}}{1+r}\ln x-\frac{x^{1+r}}{(1+r)^2}+C $$

 

적분