역행렬 & 가역행렬의 정의와 성질 (with. 계수행렬)

가역행렬이란행렬의 종류 & 단위행렬 정사각행렬 : 행의 개수 $m$과 열의 개수 $n$이 같은 행렬$n$차 정사각행렬 : 행의 개수와 열의 개수가 $n$인 $n\times n$ 행렬 대각성분 : 정사각행렬의 $\left( i, i\right)$ - 성분 (단, $i=1, 2, 3, \cdots $)대각행렬 : 대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 행렬 단위행렬 : 대각성분이 모두 $1$인 대각행렬 단위행렬은 기호 $I$로 표기하거나 그 크기를 나타내기 위해 $n$차 단위행렬의 경우 $I_n$과 같이 나타낸다.  가역행렬의 정의 가역행렬과 역행렬은 함께 정의된다. 둘의 정의는 아래와 같다.정사각행렬 $A$에 대해 $AB=I=BA$ 을 만족하는 정사각행렬 $B$가 존재하면 $A$를 가역행렬, $B$를 $A..

가우스 소거법 (Gaussian Elimination) - 기본행연산과 기약 행사다리꼴

Linear Equation 연립일차방정식의 풀이법을 알아보기 전에, Linear algebra에서 주로 다루게 되는 Linear equation에 대해서 간단히 소개하고자 한다. Linear equation이란$$ a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \cdots + a_nx_n = b $$형태의 방정식을 말하며 아래의 세 가지 조건을 만족한다. $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$, $b$ : const.$a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$ is not all zero$x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$, $x_n$ : variables직관적으로 보았을 때 변수들이 서로 상수곱과 덧셈으로 결합되어..

복소수의 곱셈과 나눗셈

단위 복소수의 성질 모든 복소수는 그 절댓값과 편각을 이용하여 단위 복소수의 실수배 형태로 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 다음의 글을 참고하자.  복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)극형식 Polar Form 복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다. 복소평면 위에 $0$이 아닌 복소수 $z$가 나타내는 점을 $P\left( z\right)$, 원점을 $Olyssion-studynote.tistory.com 그렇기 때문에 단위 복소수 간의 연산이 어떻게 이루어지는 지를 파악하면 이를 자연스럽게 복소수 전체 집합에서의 원소들 간 연산으로 확장시킬 수 있다.  켤레복소수 $\overline{..

선전하에 의한 전기장 - 직선도선

점전하가 아닌 선전하나 면전하에 의한 전기장을 구할 때는, 선이나 면을 미소단위로 나누어 전기장을 미소점전하들에 의한 전기장의 합으로 생각할 수 있다.  직선 상에 있는 경우그림과 같은 경우에서 도선의 단위길이당 전햐량, 즉 선전하밀도 $\lambda =\frac{Q}{L}$ 이다. 원점 $O$로 부터의 거리를 $x$라 하면, 미소길이 $dx$에서의 전하량 $dQ=\lambda dx$ 이다. 따라서 미소점전하 $dQ$에 의한 전기장 $dE$는 다음과 같다.$$ dE=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{dQ}{x^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda dx}{x^2} $$직선 도선에 의한 전기장은 이들 미소점전하들의 합이므로 다음과 같..

테일러 급수와 테일러 정리의 증명

테일러 급수미적분학에서, 테일러 급수란 주어진 함수를 정의역의 특정 점에서의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 무한합으로 표현하는 것을 말하며 테일러 전개라고도 부른다. 즉, 여러번 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $x=a$에서 $f(x)$에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다.(테일러 급수$\ne$멱급수 이지만 여기서는 간단히 설명하고 넘어가겠다)  테일러 정리어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 $0$에 가까워지는 오차항의 합으로 표현할 수 있다는 것이 테일러 정리이다. 접선을 통해 함수를 근사하는 선형 근사를 일반화한 다항함수 형태라고 생각할 수 있으며, 테일러 급수는 이 테일러 다항식에서 오차항을 없애고 무한차원까지 확장한 것으로 볼 수 있다.  ..

[적분] 3. 치환적분 기법 (삼각치환, 반각치환)

치환적분 글에서 다루었던 방법들로는 적분하기 어려운 함수들도 존재한다. 그러한 함수들은 삼각치환이나 반각치환을 이용하여 풀 수 있다. [적분] 2. 치환적분치환적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 치환적분 또한 합성함수의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \flyssion-studynote.tistory.com  삼각치환삼각치환이란 다음의 두 삼각함수들의 항등식을 이용하여 함수를 적분하는 방법이다.$$ \sin ^2x+\cos ^2x=1 $$$$ \tan ^2x+1=\sec ^2x $$예시를 하나 들어보자. 함수 $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$은 분모를 다른 문자로 치환..

복소수의 절댓값과 복소평면에서의 거리

절댓값의 정의 실수의 경우 두 수가 주어졌을 때, 둘 사이의 대소관계를 분명히 알아낼 수 있다. 하지만 허수의 경우 두 수의 대소관계를 말할 수 없다. 그러나 복소수의 절댓값이라는 개념을 도입하면 복소수의 경우에도 절댓값의 크기를 비교할 수 있게 된다. 복소수 $z=a+bi$ 에 대해, 절댓값 $\left| z\right|$는 복소평면 위의 점 $P\left( z\right)$ 에서 원점까지의 거리로 정의된다.$$ \left| z\right| =\left| a+bi\right| =\sqrt{a^2+b^2} $$ 절댓값의 성질 복소수의 절댓값에 대하여 다음의 4가지가 성립한다.$\left| Re\left( z\right)\right|\le\left| z\right|$ and $\l..