절댓값의 정의
실수의 경우 두 수가 주어졌을 때, 둘 사이의 대소관계를 분명히 알아낼 수 있다. 하지만 허수의 경우 두 수의 대소관계를 말할 수 없다. 그러나 복소수의 절댓값이라는 개념을 도입하면 복소수의 경우에도 절댓값의 크기를 비교할 수 있게 된다.
복소수 $z=a+bi$ 에 대해, 절댓값 $\left| z\right|$는 복소평면 위의 점 $P\left( z\right)$ 에서 원점까지의 거리로 정의된다.
$$ \left| z\right| =\left| a+bi\right| =\sqrt{a^2+b^2} $$
절댓값의 성질
복소수의 절댓값에 대하여 다음의 4가지가 성립한다.
- $\left| Re\left( z\right)\right|\le\left| z\right|$ and $\left| Im\left( z\right)\right|\le\left| z\right|$
- $\left|\bar{z}\right| =\left| z\right|$, ${\left| z\right|}^2 =z\bar{z}$
- 두 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$ 에 대해 $\left| zw\right| =\left| z\right|\left| w\right|$
- 두 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$ 에 대해 $\left|\frac{z}{w}\right| =\frac{\left| z\right|}{\left| w\right|}$
(3), (4)는 아래와 같이 증명할 수 있다.
$$ zw = \left( a+bi\right)\left( c+di\right) =\left( ac-bd\right) +\left( ad+bc\right) i $$
$$ \begin{align} {\left| zw\right|}^2 &= {\left( ac-bd\right)}^2+{\left(ad+bc\right)}^2 \\ &= a^2c^2-2acbd+b^2d^2+a^2d^2+2adbc+b^2c^2 \\ &= \left( a^2+b^2\right)\left( c^2+d^2\right) ={\left| z\right|}^2{\left| w\right|}^2 \end{align} $$
$$ {\left|\frac{z}{w}\right|}^2=\frac{z}{w}\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} =\frac{z}{w}\frac{\bar{z}}{\bar{w}} =\frac{z\bar{z}}{w\bar{w}} =\frac{{\left| z\right|}^2}{{\left| w\right|}^2} ={\left( \frac{\left| z\right|}{\left| w\right|}\right)}^2 $$
거리의 정의
$z\ne w$ 인 두 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$ 에 대하여, 복소평면 위의 두 점 $P\left( z\right)$, $Q\left( w\right)$ 사이의 거리는 아래와 같다.
$$ \overline{PQ} =\left| z-w\right| =\sqrt{{\left( a-c\right)}^2+{\left( b-d\right)}^2} $$
절댓값과 거리 사이의 관계
절댓값의 성질에 의해 ${\left| z-w\right|}^2=\left( z-w\right)\overline{\left( z-w\right)}$ 가 성립한다. 식을 더 전개해보면 아래와 같다.
$$ \begin{align} {\left| z-w\right|}^2 &= \left( z-w\right)\overline{\left( z-w\right)} =\left( z-w\right)\left(\bar{z}-\bar{w}\right) \\ &= z\bar{z}+w\bar{w}-\left( z\bar{w} +\bar{z} w\right) \\ &= {\left| z\right|}^2+{\left| w\right|}^2-2Re\left(z\bar{w}\right) \end{align} $$
즉 두 복소수 $z$, $w$ 사이의 거리를 $d$로 두면 다음이 성립한다.
$$ d=\left| z-w\right| =\sqrt{{\left| z\right|}^2+{\left| w\right|}^2-2Re\left( z\bar{w}\right)} $$
벡터 크기 제곱과의 연결
두 벡터 차의 크기의 제곱을 구하는 공식과 두 복소수 차의 크기의 제곱을 구하는 공식을 비교해보자.
$$ {\left|\vec{a} -\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2-2\ \vec{a}\cdot\vec{b} $$
$$ {\left| z-w\right|}^2={\left| z\right|}^2+{\left| w\right|}^2-2Re\left( z\bar{w}\right) $$
수식적으로 살펴보면, 두 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$ z\bar{w} =\left( a+bi\right)\left(c-di\right) =ac-adi+bci+bd=\left( ac+bd\right)+\left( bc-ad\right) i $$
$$ Re\left( z\bar{w}\right) =ac+bd $$
즉, 위의 연산이 벡터의 cross product와 동일한 구조를 가진다는 것을 확인할 수 있다.