단위 복소수의 성질
모든 복소수는 그 절댓값과 편각을 이용하여 단위 복소수의 실수배 형태로 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 다음의 글을 참고하자.
복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)
극형식 Polar Form 복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다. 복소평면 위에 이 아닌 복소수 가 나타내는 점을 , 원점을 $O
lyssion-studynote.tistory.com
그렇기 때문에 단위 복소수 간의 연산이 어떻게 이루어지는 지를 파악하면 이를 자연스럽게 복소수 전체 집합에서의 원소들 간 연산으로 확장시킬 수 있다.
켤레복소수
삼각함수는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.
이와 같은 성질과 켤레복소수의 정의에 의해, 단위 복소수 와 그 켤레복소수 는 아래와 같은 관계식을 가진다.
(덧붙여 설명하자면 식을 유도할 때 지수법칙을 활용해도 된다고 생각할 수 있지만, 지수가 복소수 범위일 때 실수 범위에서의 지수법칙이 동일하게 성립하는지 증명하지 않았으므로 위와 같이 전개하는 것이 타당하다고 볼 수 있다.)
단위 복소수의 곱과 몫
편각이 각각 , 인 두 단위 복소수 , 를 생각해보면, 와 의 곱은 다음과 같다.
마찬가지로 와 의 나눗셈에 의한 몫은 다음과 같다.
위의 결과로부터 단위 복소수의 곱과 몫 또한 단위 복소수임을 알 수 있다. 뿐만 아니라 단위 복소수에 편각이 인 단위복소수 를 곱해주면 원래 단위 복소수의 편각이 만큼 증가한다는 것 또한 알아낼 수 있다.

복소수의 곱셈과 나눗셈
절댓값이 이고 편각이 인 복소수 는 단위 복소수 에 그 절댓값 만큼 실수배한 것으로 표현할 수 있다. 따라서 임의의 두 복소수 , 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
단위 복소수의 곱셈을 이용하면, 과의 곱은 다음과 같다.
따라서 과 의 곱 의 절댓값과 편각은 아래와 같다.
단위 복소수의 나눗셈을 이용하면, 과의 나눗셈에 의한 몫은 다음과 같다.
따라서 과 의 나눗셈에 의한 몫 의 절댓값과 편각은 아래와 같다.