복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)

 

극형식 Polar Form

 

복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다.

 

복소평면 위에 $0$이 아닌 복소수 $z$가 나타내는 점을 $P\left( z\right)$, 원점을 $O$라고 할 때, 선분 $\overline{OP}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$로 두면 다음과 같다.

$$ Re\left( z\right) =\left| z\right|\cos\theta ,\quad Im\left( z\right) =\left| z\right|\sin\theta $$

이를 통해 복소수 $z$를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ z=\left| z\right|\left(\cos\theta +i\sin\theta\right) $$

이것을 복소수 $z$의 극형식이라고 한다.

복소수의 극형식

 

편각

 

위의 그림에서 $\theta$를 편각이라고 하며, 복소수 $z$의 편각을 기호로 $\arg\left(\theta\right)$와 같이 나타낸다. 복소수 $z$의 편각 $\theta =\arg\left(\theta\right)$는 일반각으로 유일하지 않으며, $2\pi$의 정수배 만큼의 차이가 난다.

 

순허수의 편각은 $\frac{\pi}{2}+n\pi\ \left( n\in\mathbb{Z}\right)$ 이며, 복소수 0의 편각은 정의되지 않는다.

 

 

 

 

단위복소수를 사용한 복소수의 표현

 

절댓값이 $1$이고 편각이 $\theta$인 복소수의 극형식은 $\cos\theta +i\sin\theta$ 와 같다. 여기서 오일러 공식으로부터 아래의 식이 성립한다.

$$ e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta $$

절댓값이 $1$이고 편각이 $\theta$인 복소수를 단위 복소수라고 하며, 위 식으로부터 단위 복소수를 $e^{i\theta}$와 같이 기호의 형태로 나타낼 수 있다.

오일러 공식에 대해서는 다음의 글을 참고하자.

 

테일러 급수를 이용한 오일러 공식의 증명

 

단위 복소수를 사용하면 임의의 복소수를 절댓값과 편각을 사용하여 간단하게 표현할 수 있다. 절댓값이 $r$이고 편각이 $\theta$인 복소수는 $re^{i\theta}$와 같이 나타낼 수 있다.

 

$ab\ne 0$ 인 두 실수 $a$, $b$에 대하여 복소수 $z=a+bi$ 의 극형식은 아래와 같다.

$$ z=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos\theta +i\sin\theta\right) $$

이때, 편각 $\theta$는 $\cos\theta =\frac{a}{r}$, $\sin\theta =\frac{b}{r}$, $\tan\theta =\frac{b}{a}$ 를 만족시킨다. 이로부터 복소수 $z$를 단위 복소수를 사용하여 다시 나타내보면 다음과 같다.

$$ z=\sqrt{a^2+b^2}\times e^{i\theta}\quad\cdots\left(\cos\theta =\frac{a}{r},\ \sin\theta =\frac{b}{r}\right)$$

 

단위 복소수는 아래와 같은 성질을 가진다.

• 단위 복소수 $e^{i\theta}$를 이용하여 다음과 같이 편각을 표현할 수 있다.
  $$ \cos\theta =\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\ \sin\theta =\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} $$
• 두 단위 복소수가 같기 위한 필요충분조건은 편각이 일치하는 것이다.
  $$ e^{ix}=e^{iy}\ \Leftrightarrow\ \arg\left( e^{ix}\right) =\arg\left( e^{iy}\right)\ \Leftrightarrow\ x=y+2n\pi\cdots\left(\  n\in\mathbb{Z}\right) $$