수학/복소해석학

복소수의 곱셈과 나눗셈

단위 복소수의 성질 모든 복소수는 그 절댓값과 편각을 이용하여 단위 복소수의 실수배 형태로 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 다음의 글을 참고하자.  복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)극형식 Polar Form 복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다. 복소평면 위에 $0$이 아닌 복소수 $z$가 나타내는 점을 $P\left( z\right)$, 원점을 $Olyssion-studynote.tistory.com 그렇기 때문에 단위 복소수 간의 연산이 어떻게 이루어지는 지를 파악하면 이를 자연스럽게 복소수 전체 집합에서의 원소들 간 연산으로 확장시킬 수 있다.  켤레복소수 $\overline{..

복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)

극형식 Polar Form 복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다. 복소평면 위에 $0$이 아닌 복소수 $z$가 나타내는 점을 $P\left( z\right)$, 원점을 $O$라고 할 때, 선분 $\overline{OP}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$로 두면 다음과 같다.$$ Re\left( z\right) =\left| z\right|\cos\theta ,\quad Im\left( z\right) =\left| z\right|\sin\theta $$이를 통해 복소수 $z$를 아래와 같이 나타낼 수 있다.$$ z=\left| z\right|\left(\cos\theta +i\sin\theta\right) ..

복소수의 절댓값과 복소평면에서의 거리

절댓값의 정의 실수의 경우 두 수가 주어졌을 때, 둘 사이의 대소관계를 분명히 알아낼 수 있다. 하지만 허수의 경우 두 수의 대소관계를 말할 수 없다. 그러나 복소수의 절댓값이라는 개념을 도입하면 복소수의 경우에도 절댓값의 크기를 비교할 수 있게 된다. 복소수 $z=a+bi$ 에 대해, 절댓값 $\left| z\right|$는 복소평면 위의 점 $P\left( z\right)$ 에서 원점까지의 거리로 정의된다.$$ \left| z\right| =\left| a+bi\right| =\sqrt{a^2+b^2} $$ 절댓값의 성질 복소수의 절댓값에 대하여 다음의 4가지가 성립한다.$\left| Re\left( z\right)\right|\le\left| z\right|$ and $\l..

복소수와 복소평면 (Complex Number and Complex Plane)

복소수 Complex Number 실수 : 유리수와 무리수를 통튼 것허수 : $x$에 대한 이차방정식 $x^2=-1$의 해 $i$와 실수의 곱으로서 표현되는 수 복소수란 실수와 허수의 합의 꼴로서 표현되는 수이다. 즉 모든 복소수는 두 실수 $a$, $b$에 대하여 아래와 같이 표현된다.$$ a+bi\quad \left( a, b\in\mathbb{R} \right) $$ 복소수 $z=a+bi$에 대해 $a$를 실수부, $b$를 허수부라고 한다.실수는 $b=0$ 인 복소수이고, 허수는 $b\ne 0$ 인 복소수이다. 이때 $a=0$ 이고 $b\ne 0$ 인 복소수를 순허수라고 한다.복소수 $z=a+bi$ 에 대하여 $a-bi$ 를 $z$의 켤레복소수 $\bar{z}$라고 한다.복..