테일러 급수
미적분학에서, 테일러 급수란 주어진 함수를 정의역의 특정 점에서의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 무한합으로 표현하는 것을 말하며 테일러 전개라고도 부른다.
즉, 여러번 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $x=a$에서 $f(x)$에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다.(테일러 급수$\ne$멱급수 이지만 여기서는 간단히 설명하고 넘어가겠다)
테일러 정리
어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 $0$에 가까워지는 오차항의 합으로 표현할 수 있다는 것이 테일러 정리이다. 접선을 통해 함수를 근사하는 선형 근사를 일반화한 다항함수 형태라고 생각할 수 있으며, 테일러 급수는 이 테일러 다항식에서 오차항을 없애고 무한차원까지 확장한 것으로 볼 수 있다.
증명
어떤 함수 $f(x)$가 무한 번 미분가능하다고 하자. 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.
$$ f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)\, dt $$
여기서 적분항을 계산하기 위해 부분적분을 시행한다. 이때, $\int 1\, dt=t+C=t-x$로 둔다. 적분변수가 $t$이므로 $x$는 상수이기 때문에 적분상수 $C=-x$로 표현가능한 것이다.
1.$$\int_{a}^{x}f'(t)\, dt=[(t-x)f'(t)]_{a}^{x}-\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)\, dt=f'(a)(x-a)-\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)\, dt$$
2.$$\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)\, dt=-\frac{(x-a)^2}{2}f''(a)-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^2}{2}f^{(3)}(t)\, dt$$
3.$$\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^2}{2}f^{(3)}(t)\, dt=\frac{(x-a)^3}{6}f^{(3)}(a)-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^3}{6}f^{(4)}(t)\, dt$$
$...$
$n$.$$\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(t)\, dt=(-1)^{n-1}\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\, dt$$
위의 계산결과들을 모두 합하면,
$$ \begin{align} f(x) &= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+(-1)^n\int_{a}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(t-x)^n\, dt \\ &= \sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+(-1)^n\int_{a}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(t-x)^n\, dt \end{align} $$
적분의 평균값 정리에 의해
$$ (-1)^n\int_{a}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(t-x)^n\, dt=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\quad\left( \xi\in (a,x),\xi\in\mathbb{R}\right) $$
이를 라그랑주의 나머지라고 부르며, $n\to\infty$ 일 때 라그랑주의 나머지가 $0$으로 수렴한다면 $f(x)$를 다음과 같이 테일러 급수로 표현할 수 있다.
$$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$
여기서 $a=0$인 특수한 경우를 매클로린 급수라고 부른다.
