오일러 공식
실수 $x$에 대하여 다음이 성립한다
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로 복소수 지수를 정의하는 출발점이 되며, 복소평면 상에서 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다.
증명
테일러 급수
테일러 급수 글을 참고하여라.
오일러 공식 증명
테일러 정리에 의해 $\sin x, \cos x, e^{ix}$ 함수를 다음과 같이 매클로린 급수로 나타낼 수 있다.(허수지수가 정의되지 않았지만, 오일러 공식이 허수지수를 정의하는 데 쓰이므로 넘어간다.)
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+... $$
$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+... $$
$$ e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+...+\frac{(ix)^n}{n!}+... $$
따라서 다음이 성립한다.
$$ \begin{align} e^{ix} &=1+ix-\frac{x^2}{x!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+... \\ &= \left( 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...\right) \\ &\quad +i\left( x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...\right) \\ &= \cos x+i\sin x \end{align} $$
$x=\pi$를 대입하면 오일러 등식 $e^{i\pi}+1=0$을 얻을 수 있다.
오일러 공식의 의의
이 식의 출현 이전까지 실수와 순허수는 서로 계산 불가능하였으며, 자연상수와 원주율은 각각 지수함수와 삼각함수에 사용되던 독자적으로 개발되어 서로 만날 일이 없던 수들이었다. 하지만 오일러 공식을 통해 실수와 순허수가 복소평면이라는 공간에서 서로 만나게 되고, 지수함수와 삼각함수가 복소평면 상에서 동일한 현상임을 밝혀냈다.
수학적으로는 푸리에 해석의 핵심이 되는 공식으로서 이를 편미분방정식의 풀이에 이용하게 된다. 또한 이전까지 실수 위에서만 전개되던 미적분학을 복소수 범위까지 확장시켜 복소해석학이라는 분야가 개척되었다.
오일러 공식이 복소평면을 활용한 진동의 표현을 매우 간결하게 서술 가능하게 하므로, 전자공학에서는 모든 주파수 관련 서술에 $e^{jwt}$가 무조건 들어간다. 난해한 삼각함수를 대체하고 미분방정식을 대수적으로 쉽게 풀기 위해 이러한 복소 지수표현을 이용하는 것이다.