부정적분의 정의
함수 가 정의되어 있을 때, 를 만족하는 함수 를 의 부정적분(원시함수)이라고 한다.
상수항을 미분하면 0이 되므로, 미분가능하며 y축 방향으로 평행이동하여 같아지는 함수들을 모두 같은 도함수를 가진다. 따라서 가 의 부정적분 중 하나일 때, 의 모든 부정적분은 의 함수족으로 나타내어진다. 여기서 를 적분상수라고 한다.
인테그랄 기호를 써서 나타내면 다음과 같다.
여기서 를 적분상수, 함수 를 피적분함수(원함수), 를 적분변수라고 하고, 함수 의 부정적분(원시함수)을 구하는 것을 "를 적분한다" 라고 한다.
부정적분과 피적분함수의 관계
함수 의 부정적분 를 에 대해 미분하면 적분상수 가 0이 되어 피적분함수의 원형이 나온다. 하지만 의 도함수 를 에 대해 적분하면 적분상수 가 튀어나와 피적분함수에 상수가 더해진 꼴의 함수족이 나온다.
부정적분의 계산
부정적분을 역도함수라고도 부르는 것처럼, 부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다.
함수들의 미분에 대해선 다음 글을 참고하면 된다.
초등함수의 미분법 https://lyssion-studynote.tistory.com/3
기본 성질
함수를 미분할 때는 각 항들의 실수배가 보존되며 항들을 따로 계산할 수 있다. 함수를 적분할 때에도 마찬가지이다.
다항함수의 부정적분
, 로부터
삼각함수의 부정적분
<초등함수의 미분> 편에서 삼각함수들의 도함수를 구할 수 있었다. 삼각함수의 부정적분은 그 과정을 거꾸로 거친다.
지수함수의 부정적분
<초등함수의 미분> 편에서 지수함수의 도함수를 구할 수 있었다. 지수함수의 부정적분은 그 과정을 거꾸로 거친다.
