스칼라 장에서의 선적분

 

스칼라 장에서의 선적분

 

선적분의 개념과 정의에 관해서는 다음의 글을 참고하면 된다.

 

일반적인 스칼라 장에서의 선적분은 임의의 곡선 $C$가 한 평면 위에 존재하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\int_{C}f\left( x, y\right)\, ds=\int_{a}^{b}f\left( x(t), y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt$$

 

위와 같은 선적분의 정성적인 의미를 생각해보면, $xy$평면 위의 곡선 $C$와 $xyz$공간 상의 곡선 $C' : z=f(x, y)$ 이 이루는 커튼모양의 면적과 같음을 알 수 있다. (단, $(x, y)$는 곡선 $C$위의 점)

 

선적분의 정성적 의미

스칼라 장에서의 선적분 (출처 : 위키피디아)

 

 

 

 

예제

 

$f(x, y)=x^2y+y^3$와 같이 주어지고 곡선 $C$가 반지름 길이가 1인 원의 제1사분면에 있는 영역일 때, $\int_{C}f(x, y)\,ds$를 구하여라.

 

 

step1. 변수를 매개변수화

 

곡선 $C$가 $x^2+y^2=1\ (y\ge 0)$와 같이 주어지므로, 다음과 같이 변수 $x$, $y$를 $t$에 대해 매개변수화 하여 나타낼 수 있다.

$$\begin{align} x(t) &= \cos t \\ y(t) &= sin t \quad (0\le t\le \pi ) \end{align}$$

 

마찬가지로

$$\begin{align} \frac{dx}{dt} &= - \sin t \\ \frac{dy}{dt} &= cos t \quad (0\le t\le \pi ) \end{align}$$

 

 

step2. 선적분 계산식에 대입

 

$$\begin{align} \int_{C}f(x, y)\,ds &= \int_{a}^{b}f\left( x(t), y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt=\int_{0}^{\pi}\left( x^{2}y+y^3\right)\sqrt{(- \sin t)^2+(\cos t)^2}\, dt \\ &= \int_{0}^{\pi}\{(\cos t)^2(\sin t)+(\sin t)^3\}\sqrt{\sin ^2 t+\cos ^2 t}\, dt=\int_{0}^{\pi}\sin t\left( \cos ^2 t+\sin ^2 t\right)\, dt=\int_{0}^{\pi}\sin t\, dt \end{align}$$

 

 

step3. 정적분 계산

 

$$\int_{0}^{\pi}\sin t\, dt=\left[ - \cos t\right]_{0}^{\pi}=2$$