점전하가 아닌 선전하나 면전하에 의한 전기장을 구할 때는, 선이나 면을 미소단위로 나누어 전기장을 미소점전하들에 의한 전기장의 합으로 생각할 수 있다.
원형고리에 의한 전기장
다음과 같은 원형고리를 둘레로 하는 원의 중심을 수직으로 지나는 직선 위의 점에서 원형고리도선에 의한 전기장 세기를 구해보겠다.
도선의 단위길이당 전햐량, 즉 선전하밀도 $\lambda =\frac{Q}{2\pi R}$ 이다. 도선의 호의 길이를 $s$라 하면, 미소길이 $ds$에서의 전하량 $dQ=\lambda ds$ 이다. 따라서 미소점전하 $dQ$에 의한 전기장 $dE$는 다음과 같다.
$$ dE=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{dQ}{z^2+R^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda ds}{z^2+R^2} $$
그림과 같은 경우에서 $y$축 방향 전기장 성분은 상쇄된다. 따라서 직선 도선에 의한 전기장은 이들 미소점전하들의 $x$축 성분들의 합이므로 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda ds}{z^2+R^2}\times\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda z dy}{\left( z^2+R^2\right) ^{\frac{3}{2}}} $$
$$ \begin{align} E &= \int\, dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{zR}{\left( z^2+R^2\right) ^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{2\pi R}\, ds \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{z}{\left( z^2+R^2\right) ^{\frac{3}{2}}}\frac{Q}{2\pi R}\times 2\pi R \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{Qz}{\left( z^2+R^2\right) ^{\frac{3}{2}}} \end{align} $$
원호 모양 도선에 의한 전기장
도선의 단위길이당 전햐량, 즉 선전하밀도 $\lambda =\frac{Q}{2\pi R}$ 이다. 도선의 호의 길이를 $s$라 하면, 미소길이 $ds=Rd\theta$에서의 전하량 $dQ=\lambda Rd\theta$ 이다. 따라서 미소점전하 $dQ$에 의한 전기장 $dE$는 다음과 같다.
$$ dE=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{dQ}{R^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda Rd\theta}{R^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda d\theta}{R} $$
그림과 같은 경우에서 $y$축 방향 전기장 성분은 상쇄된다. 따라서 직선 도선에 의한 전기장은 이들 미소점전하들의 $x$축 성분들의 합이므로 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda\cos\theta d\theta}{R} $$
$$ \begin{align} E &= \int\, dE_x=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon _0\times R}\int_{-\phi}^{\phi}\cos\theta\, d\theta \\ &= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon _0\times R}\left[\sin\theta\right] _{-\phi}^{\phi}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon _0\times R}\sin\phi \end{align} $$
