치환적분법

[적분] 2. 치환적분

치환적분법부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 치환적분 또한 합성함수의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해$$ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x) $$$$ f(g(x))=\int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx $$$g(x)=t$로 치환한다. 이때, 함수 $t$는 일대일대응이여야 한다. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $g'(x)=\frac{dt}{dx}$이므로$$ g'(x)dx=dt $$$$ \int_{}{}f'(g(x))g'(x)\, dx=\int_{}{}f'(t)\, dt $$$\frac{d}{dx}$ 자체가 하나의 연산자이기 때문에 위와 같은 식의 전개가 이질적으로..