정적분

벡터 장에서의 선적분

벡터 장에서의 선적분 벡터 함수의 선적분은 스칼라 장에서의 선적분과 다르게 적분식에 Dot Product가 포함된다.$$ \int_{C}F\, dr\quad\longleftrightarrow\quad\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} $$ $ \vec{F} =F_x\hat{x} +F_y\hat{y} $ ($F_x$, $F_y$는 $x$, $y$에 대한 함수) 와 같이 주어졌을 때,$$ d\vec{r} =dx\hat{x} +dy\hat{y} $$$$ \vec{F}\cdot d\vec{r} =\left( F_{x}, F_{y} \right)\cdot\left( dx, dy \right) =F_{x}dx+F_{y}dy $$$$ \int_{C}\vec{F}\cdot\, d..

스칼라 장에서의 선적분

스칼라 장에서의 선적분 선적분의 개념과 정의에 관해서는 다음의 글을 참고하면 된다. 일반적인 스칼라 장에서의 선적분은 임의의 곡선 $C$가 한 평면 위에 존재하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$ \int_{C}f\left( x, y\right)\, ds=\int_{a}^{b}f\left( x(t), y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt $$ 위와 같은 선적분의 정성적인 의미를 생각해보면, $xy$평면 위의 곡선 $C$와 $xyz$공간 상의 곡선 $ C' : z=f(x, y) $ 이 이루는 커튼모양의 면적과 같음을 알 수 있다. (단, $(x, y)$는 곡선 $C$위의 점)..

선적분의 개념과 정의

선적분 Line Integral 일반적인 정적분의 경우, 한 직선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분으로 생각할 수 있다. 예를 들자면$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $$와 같이 주어진 정적분의 경우 적분 구간에 속하는 x축 상의 모든 점들에 대한 함수 $f(x)$의 적분을 구하는 것이 된다. 이와 다르게 선적분은, 임의의 곡선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분을 구하는 것이다.임의의 곡선 $C$가 다음과 같이 주어졌다고 하면, 닫힌 구간 $ \left[ a, b\right] $에서 함수 $ f\left( x_{t}, y_{t}, z_{t}\right) $에 대해 구간 $ \left[ a, b\right] $를 $n$분할하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 ..

[적분] 6. 미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리미적분에 관한 기본정리로, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.정리1. $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)$정리2. $\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\quad (\frac{d}{dx}F(x)=f(x))$  증명미적분학의 제1 기본정리$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt$, 구간 $[x, x+\Delta x]$에서 $f(x)$의 최댔값을 $M$, 최솟값을 $m$이라고 정의하자.$$ m\Delta x\le S(x+\Delta x)-S(x)\le M\Delta x $$$$ \lim_{\Delta x\to 0}m\le\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-..

[적분] 5. 리만 합과 리만 적분(Rimann Integral)

정적분의 시작부정적분과 정적분은 마치 동질적인 것처럼 보이지만 이 둘은 미적분학의 기본정리에 의해 엮어질 뿐, 그 시초와 본질이 전혀 다르다. 부정적분이 미분의 역연산으로서 17세기 이후에 만들어진 것과는 대조되게, 정적분은 수천년 전부터 구분구적법이라는 개념으로 존재했다. 원과 같이 곡선을 포함하여 그 넓이를 재기 어려운 도형들의 넓이를 계산하기 위해, 사각형과 같은 쉽게 넓이를 구할 수 있는 도형들의 작은 조각들로 그 넓이를 어림하여 계산하는 것이다. 이후 라이프니츠가 이러한 도형의 개수를 무한히 늘리면 어림의 오차가 없어져 실제와 같아진다는 아이디어로 정리하였고, 최종적으로 베른하르트 리만이 리만 적분이라는 형태로 완성하였다.  리만 합닫힌 구간 $[a, b]$에서 불연속점이 유한개..