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델 연산자 (Del Operator) - 그래디언트, 다이버전스, 컬, 라플라시안

정의 델 연산자는 $\nabla$와 같이 나타내며 아래와 같이 정의된다.$$ \nabla =\sum_{i=1}^n \frac{1}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\hat{x_{i}} $$ 이처럼 델 연산자는 벡터로 취급하여도 무방하다. $h_{i}$는 Scaling Factor이며 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계와 같이 서로 직교하는 좌표계에서는 $h_{i}$만큼 보정하여 계산한다. 직교좌표계 : $h_{x}=1$, $h_{y}=1$, $h_{z}=1$구면좌표계 : $h_{r}=1$, $h_{\theta}=r$, $h_{\rho}=r\sin\theta$원통좌표계 : $h_{\rho}=1$, $h_{\theta}=r$, $h_{z}=1$ 따라..

벡터의 연산 Vector Algebra

벡터의 정의 벡터 공간이란, 간단히 말하면 원소들을 서로 더하거나 주어진 배수로 늘리고 줄일 수 있는 공간을 의미하며 이러한 벡터 공간의 원소를 벡터라고 한다. 벡터 공간은 수학적으로 이보다 더 엄밀하게 여러 공리들을 만족하는 공간으로 정의된다. 따라서 일반적으로는 크기와 방향을 가지는 양(유클리드 기하적 벡터)을 벡터라고 한다.  벡터의 표기 $ \vec{A} $ 또는 $ \mathbf{A} $ 와 같이 기호로 나타낸다또한 벡터의 크기는 $ \left|\vec{A}\right| $ 또는 $ \left|\mathbf{A}\right| $ 와 같이 나타낸다.  단위벡터 단위벡터란, 크기가 1인 벡터를 의미하며 $ \hat{A} $ 와 같이 나타낸다. 직교좌표계에서 단위벡터는..

선전하에 의한 전기장 - 직선도선

점전하가 아닌 선전하나 면전하에 의한 전기장을 구할 때는, 선이나 면을 미소단위로 나누어 전기장을 미소점전하들에 의한 전기장의 합으로 생각할 수 있다.  직선 상에 있는 경우그림과 같은 경우에서 도선의 단위길이당 전햐량, 즉 선전하밀도 $\lambda =\frac{Q}{L}$ 이다. 원점 $O$로 부터의 거리를 $x$라 하면, 미소길이 $dx$에서의 전하량 $dQ=\lambda dx$ 이다. 따라서 미소점전하 $dQ$에 의한 전기장 $dE$는 다음과 같다.$$ dE=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{dQ}{x^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\lambda dx}{x^2} $$직선 도선에 의한 전기장은 이들 미소점전하들의 합이므로 다음과 같..

선전하에 의한 전기장 - 원형고리

점전하가 아닌 선전하나 면전하에 의한 전기장을 구할 때는, 선이나 면을 미소단위로 나누어 전기장을 미소점전하들에 의한 전기장의 합으로 생각할 수 있다.  ​원형고리에 의한 전기장​다음과 같은 원형고리를 둘레로 하는 원의 중심을 수직으로 지나는 직선 위의 점에서 원형고리도선에 의한 전기장 세기를 구해보겠다. 도선의 단위길이당 전햐량, 즉 선전하밀도 $\lambda =\frac{Q}{2\pi R}$ 이다. 도선의 호의 길이를 $s$라 하면, 미소길이 $ds$에서의 전하량 $dQ=\lambda ds$ 이다. 따라서 미소점전하 $dQ$에 의한 전기장 $dE$는 다음과 같다.$$ dE=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{dQ}{z^2+R^2}=\frac{1}{4\pi\epsi..

전기장(Electric Field)과 점전하에 의한 전기장

전기장역장이란 물리학에서 힘이 작용하는 공간을 뜻한다.전기장이란 전하를 띤 물체가 장 안의 어떤 위치에 있는 단위 양전하에 가하는 전기력으로 정의된다. 이는 스칼라장이 아닌 벡터장으로 위치에 따른 크기와 방향에 관련된 힘의 정보를 담고 있다. 전기장은 대전된 물체 주위의 공간에서 각 점(위치)에 하나씩 주어지는 전기장 벡터 $\vec{E}$의 분포로 구성되어 있으며, 어떤 점에 있는 전하량이 $q_0$일 때 $\vec{E}$는 다음과 같이 정의된다.$$ \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0} $$  점전하에 의한 전기장점전하란 어떤 물체가 가진 모든 전하량이 한 점에 모여있는 추상적인 개념이다.$q$의 전하를 가진 점전하가 다른 위치에 있는 단위양전하에게 가하는 힘은 둘 사이..

전기력과 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)

전하와 전기력전하(Electric Charge)란 물체가 가지고 있는 전기의 양을 뜻하며, 모든 전기현상을 일으키는 원인이 된다. 전하에는 두 가지 종류가 있는데, 물체가 가지는 알짜전하를 쉽게 계산하기 위해 +, - 의 부호로 구분하며 각각 양전하와 음전하라고 부른다. 물체가 가진 음전하와 양전하의 양이 같을 때, 즉 알짜전하가 0일 때 물체는 전기적으로 중성이다.서로 다른 전하는 서로 힘을 주고 받는다. 같은 종류의 전하끼리, 양전하-양전하나 음전하-음전하끼리는 서로 밀어내는 척력이 작용한다. 반대로 다른 종류의 전하끼리,  양전하-음전하끼리는 서로 끌어당기는 인력이 발생한다. 이렇게 전하들 사이에 작용하는 전기적인 힘을 전기력이라고 한다.  쿨롱(C) 단위의 정의어떤 물체에 전하가 ..

테일러 급수를 이용한 오일러 공식의 증명

오일러 공식실수 $x$에 대하여 다음이 성립한다$e^{ix}=\cos x+i\sin x$수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로 복소수 지수를 정의하는 출발점이 되며, 복소평면 상에서 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다.  증명테일러 급수테일러 급수 글을 참고하여라.   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  오일러 공식 증명테일러 정리에 의해 $\sin x, \cos x, e^{ix}$ 함수를 다음과 같이 매클로린 급수로 나타낼 수 있다.(허수지수가 정의되지 않았지만, 오일러 공식이 허수지수를 정의하는 데 쓰이므로 넘어간다.)$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5..

테일러 급수와 테일러 정리의 증명

테일러 급수미적분학에서, 테일러 급수란 주어진 함수를 정의역의 특정 점에서의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 무한합으로 표현하는 것을 말하며 테일러 전개라고도 부른다. 즉, 여러번 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $x=a$에서 $f(x)$에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다.(테일러 급수$\ne$멱급수 이지만 여기서는 간단히 설명하고 넘어가겠다)  테일러 정리어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 $0$에 가까워지는 오차항의 합으로 표현할 수 있다는 것이 테일러 정리이다. 접선을 통해 함수를 근사하는 선형 근사를 일반화한 다항함수 형태라고 생각할 수 있으며, 테일러 급수는 이 테일러 다항식에서 오차항을 없애고 무한차원까지 확장한 것으로 볼 수 있다.  ..

[적분] 6. 미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리미적분에 관한 기본정리로, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.정리1. $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)$정리2. $\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\quad (\frac{d}{dx}F(x)=f(x))$  증명미적분학의 제1 기본정리$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt$, 구간 $[x, x+\Delta x]$에서 $f(x)$의 최댔값을 $M$, 최솟값을 $m$이라고 정의하자.$$ m\Delta x\le S(x+\Delta x)-S(x)\le M\Delta x $$$$ \lim_{\Delta x\to 0}m\le\lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x)-..