수학

역행렬 & 가역행렬의 정의와 성질 (with. 계수행렬)

가역행렬이란행렬의 종류 & 단위행렬 정사각행렬 : 행의 개수 $m$과 열의 개수 $n$이 같은 행렬$n$차 정사각행렬 : 행의 개수와 열의 개수가 $n$인 $n\times n$ 행렬 대각성분 : 정사각행렬의 $\left( i, i\right)$ - 성분 (단, $i=1, 2, 3, \cdots $)대각행렬 : 대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 행렬 단위행렬 : 대각성분이 모두 $1$인 대각행렬 단위행렬은 기호 $I$로 표기하거나 그 크기를 나타내기 위해 $n$차 단위행렬의 경우 $I_n$과 같이 나타낸다.  가역행렬의 정의 가역행렬과 역행렬은 함께 정의된다. 둘의 정의는 아래와 같다.정사각행렬 $A$에 대해 $AB=I=BA$ 을 만족하는 정사각행렬 $B$가 존재하면 $A$를 가역행렬, $B$를 $A..

가우스 소거법 (Gaussian Elimination) - 기본행연산과 기약 행사다리꼴

Linear Equation 연립일차방정식의 풀이법을 알아보기 전에, Linear algebra에서 주로 다루게 되는 Linear equation에 대해서 간단히 소개하고자 한다. Linear equation이란$$ a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \cdots + a_nx_n = b $$형태의 방정식을 말하며 아래의 세 가지 조건을 만족한다. $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$, $b$ : const.$a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$ is not all zero$x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$, $x_n$ : variables직관적으로 보았을 때 변수들이 서로 상수곱과 덧셈으로 결합되어..

복소수의 곱셈과 나눗셈

단위 복소수의 성질 모든 복소수는 그 절댓값과 편각을 이용하여 단위 복소수의 실수배 형태로 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 다음의 글을 참고하자.  복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)극형식 Polar Form 복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다. 복소평면 위에 $0$이 아닌 복소수 $z$가 나타내는 점을 $P\left( z\right)$, 원점을 $Olyssion-studynote.tistory.com 그렇기 때문에 단위 복소수 간의 연산이 어떻게 이루어지는 지를 파악하면 이를 자연스럽게 복소수 전체 집합에서의 원소들 간 연산으로 확장시킬 수 있다.  켤레복소수 $\overline{..

복소수의 극형식 (Polar Form of Complex Number)

극형식 Polar Form 복소수의 절댓값과 편각을 사용하여 복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법을 극형식이라고 한다. 복소평면 위에 $0$이 아닌 복소수 $z$가 나타내는 점을 $P\left( z\right)$, 원점을 $O$라고 할 때, 선분 $\overline{OP}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$로 두면 다음과 같다.$$ Re\left( z\right) =\left| z\right|\cos\theta ,\quad Im\left( z\right) =\left| z\right|\sin\theta $$이를 통해 복소수 $z$를 아래와 같이 나타낼 수 있다.$$ z=\left| z\right|\left(\cos\theta +i\sin\theta\right) ..

복소수의 절댓값과 복소평면에서의 거리

절댓값의 정의 실수의 경우 두 수가 주어졌을 때, 둘 사이의 대소관계를 분명히 알아낼 수 있다. 하지만 허수의 경우 두 수의 대소관계를 말할 수 없다. 그러나 복소수의 절댓값이라는 개념을 도입하면 복소수의 경우에도 절댓값의 크기를 비교할 수 있게 된다. 복소수 $z=a+bi$ 에 대해, 절댓값 $\left| z\right|$는 복소평면 위의 점 $P\left( z\right)$ 에서 원점까지의 거리로 정의된다.$$ \left| z\right| =\left| a+bi\right| =\sqrt{a^2+b^2} $$ 절댓값의 성질 복소수의 절댓값에 대하여 다음의 4가지가 성립한다.$\left| Re\left( z\right)\right|\le\left| z\right|$ and $\l..

복소수와 복소평면 (Complex Number and Complex Plane)

복소수 Complex Number 실수 : 유리수와 무리수를 통튼 것허수 : $x$에 대한 이차방정식 $x^2=-1$의 해 $i$와 실수의 곱으로서 표현되는 수 복소수란 실수와 허수의 합의 꼴로서 표현되는 수이다. 즉 모든 복소수는 두 실수 $a$, $b$에 대하여 아래와 같이 표현된다.$$ a+bi\quad \left( a, b\in\mathbb{R} \right) $$ 복소수 $z=a+bi$에 대해 $a$를 실수부, $b$를 허수부라고 한다.실수는 $b=0$ 인 복소수이고, 허수는 $b\ne 0$ 인 복소수이다. 이때 $a=0$ 이고 $b\ne 0$ 인 복소수를 순허수라고 한다.복소수 $z=a+bi$ 에 대하여 $a-bi$ 를 $z$의 켤레복소수 $\bar{z}$라고 한다.복..

벡터 장에서의 선적분

벡터 장에서의 선적분 벡터 함수의 선적분은 스칼라 장에서의 선적분과 다르게 적분식에 Dot Product가 포함된다.$$ \int_{C}F\, dr\quad\longleftrightarrow\quad\int_{C}\vec{F}\cdot\, d\vec{r} $$ $ \vec{F} =F_x\hat{x} +F_y\hat{y} $ ($F_x$, $F_y$는 $x$, $y$에 대한 함수) 와 같이 주어졌을 때,$$ d\vec{r} =dx\hat{x} +dy\hat{y} $$$$ \vec{F}\cdot d\vec{r} =\left( F_{x}, F_{y} \right)\cdot\left( dx, dy \right) =F_{x}dx+F_{y}dy $$$$ \int_{C}\vec{F}\cdot\, d..

스칼라 장에서의 선적분

스칼라 장에서의 선적분 선적분의 개념과 정의에 관해서는 다음의 글을 참고하면 된다. 일반적인 스칼라 장에서의 선적분은 임의의 곡선 $C$가 한 평면 위에 존재하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$ \int_{C}f\left( x, y\right)\, ds=\int_{a}^{b}f\left( x(t), y(t)\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\, dt $$ 위와 같은 선적분의 정성적인 의미를 생각해보면, $xy$평면 위의 곡선 $C$와 $xyz$공간 상의 곡선 $ C' : z=f(x, y) $ 이 이루는 커튼모양의 면적과 같음을 알 수 있다. (단, $(x, y)$는 곡선 $C$위의 점)..

선적분의 개념과 정의

선적분 Line Integral 일반적인 정적분의 경우, 한 직선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분으로 생각할 수 있다. 예를 들자면$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $$와 같이 주어진 정적분의 경우 적분 구간에 속하는 x축 상의 모든 점들에 대한 함수 $f(x)$의 적분을 구하는 것이 된다. 이와 다르게 선적분은, 임의의 곡선 위에 존재하는 모든 점들에 대한 적분을 구하는 것이다.임의의 곡선 $C$가 다음과 같이 주어졌다고 하면, 닫힌 구간 $ \left[ a, b\right] $에서 함수 $ f\left( x_{t}, y_{t}, z_{t}\right) $에 대해 구간 $ \left[ a, b\right] $를 $n$분할하여 $a$부터 $b$까지의 각 분할점을 ..